Ajuste No Lineal

Función Logística

Dinámica del Crecimiento Demográfico

Elegimos este modelo porque la dinámica del crecimiento demográfico es de importancia en todos los planes de estudio de ingeniería. Los programas de construcción y de distribución de recursos en proyectos a gran escala, tales como el abastecimiento de agua y sistemas de transporte dependen en gran medida de las tendencias de la población. Además, las tendencias de otro tipo de poblaciones, tales como los microbios, son importantes en muchos procedimientos de ingeniería, como en el tratamiento de basura, en el manejo de la fermentación y en la elaboración de productos farmacéuticos.

Los modelos de crecimiento en un grupo de microbios suponen que el promedio de cambio de la población $(p)$ es proporcional a la población existente en un tiempo $(t)$:

${dp \over dt} = kp$

La población crece en un medio en el que existe alimento suficiente de manera que $k$ no es una función de la concentración. Cuando el alimento no escasea, el crecimiento se limita sólo por el consumo de productos tóxicos o de espacio, si es que el tamaño de la población crece demasiado. Con el tiempo, estos factores retardan la tasa de creciemiento de la población y la detienen completamente cuando ésta alcanza una densidad máxima de $p_{max}$.

En este caso, se modifica la ecuación anterior de la siguiente manera:

${dp \over dt} = kp(p_{max}-p)$

en donde las unidades de K son litros por cèlula por día. Esta ecuación diferencial se puede integrar de forma analítica dando :

$\quad p(t) ={p_{max} \over 1+ ( {p_{max} \over p_{0}}-1)e^{-k_{p_{max^{t}}}}}$

en donde $p( t = 0) = p0$. A la ecuación anterior se le conoce como el modelo de crecimiento logístico. Este modelo genera una curva de $p(t)$ en forma de S. Como se puede ver, el modelo simula un crecimiento inicial lento, seguido por un periodo de crecimiento rápido y finalmente, un crecimiento limitado a una densidad demográfica muy alta.

Como ejemplo de aplicación de este modelo en el área de la ingeniería civil, considérese el crecimiento de una población bacteriológica en un lago. La población es pequeña en la primavera del año en donde $t = 0, p( t = 0 ) = 10$ células por litro. Es sabido que la población alcanza una densidad de $15000$celulas por litro cuado $t = 60$ días y que la tasa de crecimiento $k$es de $2 x 10^{-6}$ litros por célula por día. Se requiere calcular la densidad de la población bacterial cuando $t= 90$días. Si su número excede de $40000$ celulas por litro, entonces la calidad estándar del agua requiere la implementación de algún procedimiento para disminuirlas y proteger a las personas que se introduzcan al agua.

Un modelo logístico de crecimiento demográfico.

Este modelo simula un crecimiento inicial lento, después una aceleración e él mismo seguido por un periodo de nivelación en una densidad poblacional alta.

Solución: sustituyendo la infomación conocida en la ecuación se obtiene

$\quad 15000 ={p_{max} \over 1+ ( {p_{max} \over 10}-1)e^{-(2)(10^{-6})_{p_{max^{60}}}}}$

la cual tiene sólo una incógnita, $p_{max}$. Si la ecuación se pudiera resolver para $p_{max}$entonces $p( t = 90)$ se podría determinar fácilmente de la ecuación. Sin embargo , ya que $p_{max}$es implícita, no se puede obtener directamente de la ecuación.

Se puede aplicar lo métodos de bisección, de la regla falsa y de la secante. Con un error relativo del $0,01\%$ los valores iniciales dados de $60000$ y $70000$ células por litro generan las siguientes aproximaciones de $p_{max}$.

Tabla de comparación

Notese que los métdos de la regla falsa y de la secante convergen a la mitad del número de iteraciones del método de bisección.

Ahora, de la ecuación con $p_{max}. = 63200$:

$\quad p(90) ={63200 \over 1+ ( {63200 \over 10}-1)e^{-(2)(10^{-6})_{63200^{90}}}} = 58930$ células por litro.

Este nivel demográfico sobrepasa el límite estándar en cuanto a calidad del agua que es de $40000$ células por litro y por lo tanto, se debe tomar alguna medida de corrección.

Este ejemplo, ilustra la eficiencia computacional relativa de tres métodos diferentes para encontrar raíces de ecuaciones en un problema de diseño de ingeniería civil.

Sin embargo, como se menciona anteriormente, el esquema general tiene una aplicación amplia en todos los campos de la ingeniería que tengan que ver con el crecimiento de organismos, incluyendo a los humanos.

Código en Matlab:

function Y = fun(A)

global T

% a=A(1); b=A(2); c=A(3); % Y=c./(1+a.*exp(-b.*T));

% caso 1 a=A(1); b=A(2); c=A(3); d=A(4); Y=d./(1+a.*exp(-b.*T+c.*T.^2));

% caso 2 return global T T = (1:8)'; Y = [2 2 15 35 93 117 177 212]'; plot(T,Y,'rx') D=[]; AA=[];

% A = [100 1 300]'; % caso 1 A = [1 1 0.1 1.1]'; % caso 2

% A = [100 0 200]'; for k=1:20 E=0*eye(4)*1e5*2^(-k); f=fun(A); J=jacobian(A); dA = (J'*J+E) \ (J'*(Y-f)); A = A + dA; % A D=[D norm(Y-f)]; AA=[AA A]; end T = (1:0.01:8)'; YY=fun(A); hold on; plot(T,YY,'.-'); hold off

return A = [1 1 0.1 0.1]'; jacobian(A), cond(jacobian(A)) function J = jac(A) h = sqrt(eps); F = fun(A);

% caso 1 % A1plus=A+[1; 0; 0]*h; A2plus=A+[0; 1; 0]*h; A3plus=A+[0; 0; 1]*h; % F1=fun(A1plus); F2=fun(A2plus);

% F3=fun(A3plus); J=[(F1-F)/h (F2-F)/h (F3-F)/h];

% caso 2

A1plus=A+[1; 0; 0; 0]*h; A2plus=A+[0; 1; 0; 0]*h; A3plus=A+[0; 0; 1; 0]*h; A4plus=A+[0; 0; 0; 1]*h; F1=fun(A1plus); F2=fun(A2plus); F3=fun(A3plus); F4=fun(A4plus); J=[(F1-F)/h (F2-F)/h (F3-F)/h (F4-F)/h];

function Y = fun(A)

global T

% a=A(1); b=A(2); c=A(3); % Y=c./(1+a.*exp(-b.*T)); % caso 1 a=A(1); b=A(2); c=A(3); d=A(4); Y=d./(1+a.*exp(-b.*T+c.*T.^2)); % caso 2

Gráfico en Matlab